Orbite circolari in un campo centrale

Marzo 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Abbiamo visto che invertendo la funzione φ(r) che è un integrale particolare di questa equazione differenziale otteniamo l'equazione della traiettoria r(φ). Se in particolare, tale funzione è una costante:

l'orbita è manifestamente circolare. Abbiamo quindi, un moto circolare che è uniforme in virtù della costanza della velocità areolare (seconda legge di Keplero):

Teorema
In un campo centrale le orbite circolari corrispondono ai punti critici del potenziale efficace.

Dim.

Esaminiamo il caso dell'oscillatore armonico tridimensionale isotropo. In questa lezione abbiamo visto che un campo di forze elastiche unidimensionali, si scrive:

dove k è la costante elastica (si pensi ad un punto materiale vincolato ad una molla ideale, per cui ω è la pulsazione o frequenza angolare). Tale campo è conservativo ed ha energia potenziale

Possiamo allora generalizzare tale sistema fisico, considerando un punto materiale di massa m sottoposto a un campo di forze:

Tale sistema è denominato oscillatore armonico tridimensionale,e il predetto campo di forze è manifestamente conservativo. La sua energia potenziale è

Se le pulsazioni coincidono:

l'oscillatore si dice isotropo e si ha

Cioè un campo centrale. Per la determinazione delle eventuali orbite circolari, dobbiamo ricercare i punti critici del potenziale efficace:

supponendo la componente z del momento angolare L_z non nulla, altrimenti l'orbita è degenere (si riduce a un segmento di retta). La derivata prima è

da cui

Ne consegue che l'oscillatore isotropo ammette un'orbita circolare di raggio

L'energia meccanica dell'oscillatore che percorre un'orbita circolare di raggio r_c si riduce al valore assunto dal potenziale efficace per tale valore di r