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Funzione convergente in modulo, ma non implica necessariamente la convergenza

Per una funzione che tende a un limite finito (ovvero che converge) ci si può chiedere: converge anche in modulo?. Cioè, il valore assoluto della funzione converge? Intanto dimostriamo la proposizione inversa, ossia se la funzione converge a un limite L, il suo valore assoluto converge al valore assoluto del limite (|L|). Ma non sempre è vero il viceversa, ad eccezione del caso ovvio L=0 (cioè quando la funzione è infinitesima per x che tende al punto di accumulazione considerato). Proponiamo un controesempio (fig. 1) di una funzione convergente in modulo ma che non converge ad alcun limite.

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For a function that tends towards a finite limit (that is, which converges ) one may ask: also |f(x)| converges? . That is, the absolute value of the function converges? Meanwhile we prove the inverse proposition, that is, if the function converges to a limit L, its absolute value converges to the absolute value of the limit (| L |). But the converse is not always true, with the exception of the obvious case L = 0 (i.e. when the function is infinitesimal for x which tends to the considered accumulation point). We propose a counterexample (fig. 1) of a function converging in modulo but which does not converge to any limit.

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Tags: convergenza, convergenza in modulo, limite