Cercasi disperatamente curva inviluppo

domenica, Dicembre 27th, 2020

famiglia di curve piane,inviluppo,curva discriminante
Fig. 1


Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane la cui espressione è in fig. 1.


Soluzione
Dopo aver definito la funzione


risolviamo il sistema

La seconda è verificata per x=2. Però sostituendo questo valore nella prima, otteniamo x=0. D'altra parte la seconda è verificata per y=λ. In tal modo la prima diviene


Iniziamo con x=1. Immettendo questo valore nella seconda, otteniamo il luogo geometrico


o meglio, una rappresentazione parametrica della retta verticale x=1. Potrebbe essere l'inviluppo o una curva discriminante. Verifichiamo calcolando il valore assunto dalle derivate parziali di F rispetto alle variabili x,y:


Risulta

Ne segue che Γ è il luogo dei punti singolari delle curve di Φ, i.e. è la curva discriminante per tale famiglia. Applicando il procedimento standard per la classificazione dei punti singolari delle curve piane, scopriamo che il generico punto di Γ è un nodo per la curva corrispondente. Passiamo ora all'altra soluzione x=0. Si trova facilmente la curva soluzione:


cioè l'asse y. Questa volta le derivate rispetto a x,y, non si annullano, per cui il luogo trovato è l'inviluppo, come mostrato in fig. 1.

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Famiglia di parabole di Neil (curva discriminante)

venerdì, Dicembre 25th, 2020

parabole di neil,cuspide,famiglia,curva discriminante
Fig. 1


Esercizio

Determinare la curva discriminante della famiglia di parabole di Neil:



Soluzione
Scriviamo

Risolviamo il sistema:

cioè l'asse x. Si tratta di verificare se è l'inviluppo o la curva discriminante. A tale scopo calcoliamo le derivate parziali prime rispetto alle variabili x,y:


Segue

ovvero il luogo trovato è la curva discriminante. Per classificare i punti singolari calcoliamo le derivate parziali seconde rispetto alle variabili x,y

Applicando il procedimento standard per la classificazione dei punti singolari, si scopre che si tratta di cuspidi, come illustrato in fig. 1.
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