Determinare l'inviluppo delle rette che formano con gli assi coordinati un triangolo di area assegnata

Dicembre 22nd, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


Esercizio

Determinare l'inviluppo delle rette che formano con gli assi coordinati un triangolo di area assegnata a2.


Soluzione
Denotiamo con A e B i punti di intersezione di una generica retta r con gli assi coordinati:


Ne consegue che OA e OB sono oi segmenti staccati da r sui predetti assi. Se p e q sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di A e B, dalla Geometria analitica sappiamo che l'equazione ordinaria di r è:


L'area del triangolo rettangolo OAB è (1/2)pq, per cui la nostra richiesta si traduce in


per cui l'equazione della famiglia di rette che formano con li assi coordinati un triangolo di area a² è


avendo assunto come parametro il numero reale non nullo p. Applichiamo quindi il procedimento standard per la ricerca dell'inviluppo della famiglia Φ. Si ponga

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni


La seconda può essere scritta come


e quindi x=p/2. Abbiamo così ottenuto la rappresentazione parametrica dell'inviluppo. Eliminando il parametro p otteniamo la rappresentazione cartesiana


ossia un'iperbole equilatera (fig. 1).


Exercise

Determine the envelope of the straight lines that form a triangle of assigned area with the coordinate axes a2.

Solution
We denote by A and B the points of intersection of a generic line r with the coordinate axes:


It follows that OA and OB are or segments detached from r on the aforesaid axes. If p and q are respectively the abscissa and ordinate of A and B, from analytical geometry we know that the ordinary equation of r is:


The area of the right triangle OAB is (1/2) pq, so our request translates to


for which the equation of the family of straight lines that form with the coordinate axes a triangle of area a² is


having taken as a parameter the real non-zero number p. We then apply the standard procedure for finding the envelope of the family Φ. Ask yourself


It is about solving the system of equations

The second can be written as


and therefore x=p/2. We thus obtained the parametric representation of the envelope. By eliminating the parameter p we obtain the Cartesian representation

that is, an equilateral hyperbole (fig. 1).

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