[¯|¯] Generalizzazione dell'equazione di Thomas-Fermi. Il metodo di Majorana

Febbraio 18th, 2020 | by Marcello Colozzo |

equazione di Thomas-Fermi, majorana,rappresentazione parametrica

Correggiamo alcune imperfezioni del post precedente. In particolare, la funzione t(x,y) non può essere definita ad arbitrio. Infatti, una cosa è dire che una curva è dotata di infinite rappresentazione parametriche, un'altra cosa è riferirsi all'insieme infinito di funzioni t(x,y). In altri termini, la funzione di due variabili t(x,y) la possiamo vedere come funzione scalare della variabile vettoriale x=(x,y) tale che la sua inversa x(t) è una funzione vettoriale che definisce una rappresentazione parametrica regolare della curva integrale che risolve l'equazione di Thomas-Fermi con le appropriate condizioni ai limiti. Per inciso, bisognerebbe poi dimostrare esistenza ed unicità delle soluzioni, perché ora stiamo considerando una Thomas-Fermi generalizzata.

Il passo successivo consiste nel definire ad arbitrio una funzione u(y,y') di classe C^1, ed è chiaro che la curva u(t)=u[y(t),y'(t)] tracciata sul grafico di u, si proietta ortogonalmente su una curva (regolare) C del piano coordinato yy', e tale curva C è ovviamente deteminata in modo univoco, dalla curva integrale che risolve la Thomas-Fermi.
Noi conosiamo la funzione u(y,y') perchè l'abbiamo fissata a priori, però non conosciamo la u(t) per la semplice ragione che non conosciamo C (che dipende dalla curva integrale che risolve il problema). E allora si apre lo spinoso problema di ricavare un'equazione differenziale per u(t) per poi cercare di ricavare le funzioni y(t) e x(t) che implementano una rappresentazione parametrica della predetta curva integrale.

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