[¯|¯] Disequazioni irrazionali (parte seconda)

Gennaio 26th, 2020 | by Marcello Colozzo |

disequazioni irrazionali,mathematica — **Fig. 1**

Passiamo a una disequazione irrazionale un pò più complicata di quella precedente:

dove q(x) è un polinomio di grado assegnato. Dobbiamo distinguere i due casi:

Nel caso 1 dobbiamo imporre la realtà del radicale a primo membro, dopodichè elevare al quadrato primo e secondo membro per poi risolvere la disequazione risultante. In breve, nel caso 1 dobbiamo risolvere il sistema di disequazioni:

Ricordiamo che risolvere un sistema di disequazioni vuol dire eseguire le intersezioni degli insiemi soluzione di singola disequazione. Denotiamo, allora, con S₁ l'insieme delle soluzioni del sistema scritto più sopra.

Nel caso 2 dobbiamo solo imporre la realtà del radicale a primo membro, poiché dal momento che q(x) < 0 e sqrt(p(x)) > 0, la disequazione è automaticamente soddisfatta. Quindi il caso 2 restituisce il sistema di disequazioni:

e chiamiamo S₂ il suo insieme di soluzioni. A questo punto, non dobbiamo eseguire l'intersezione degli insiemi S₁ e S₂, bensì l'unione di tali insiemi. Ciò perchè dobbiamo appunto cercare l'unione delle soluzioni e non quelle in comune.
Esercizio
Risolvere la disequazione

Soluzione
Il primo sistema è

le cui singole disequazioni si risolvono facilmente:

Ora non dobbiamo fare altro che costruire il solito diagramma, in modo da eseguire l'intersezione delle singole soluzioni. Dalla fig. 1 vediamo subito che non esistono soluzioni comuni, ovvero l'intersezione è vuota: