» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Sfida agli esperti

Teorema

dove

mentre

è la delta di Dirac tridimensionale

Dim.

Esplicitiamo innanzitutto il laplaciano
.

Calcoliamo a parte le singole derivate:

per cui









Permutando ciclicamente x,y,z si perviene

onde

Ciò premesso, l'equazione da dimostrare equivale a

Consideriamo, allora, la seguente funzione

Con un calcolo analogo al precedente, si perviene

Assegnato il dominio sferico

si ha manifestamente

Passando alle coordinate sferiche, e integrando sull'angolo solido totale:

Calcoliamo a parte l'ultimo integrale:

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Tags: delta di dirac, laplaciano, Singolarità