[¯|¯] Primo teorema di Cauchy. Interpretazione vettoriale dell'olomorfia di una funzione complessa

Agosto 18th, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzioni olomorfe, primo teorema di cauchy

Premettiamo che a una funzione complessa f(z) possiamo univocamente associare un campo vettoriale complesso

essendo e₁,e₁ i versori dell'asse reale e dell'asse immaginario, rispettivamente. Se f(x+iy)=f(x,y) è parzialmente derivabile rispetto a x e y, la divergenza del predetto campo vettoriale è

Se le derivate parziali sono ovunque continue, prendendo ad arbitrio un dominio regolare D contenuto nel campo di definizione di f(z), si ha in forza del teorema della divergenza:

D'altra parte

avendo definito la circuitazione di u(x,y) lungo la frontiera di D (nel verso positivo o negativo):

dove τ è il versore tangente a frontiera di D. Ciò premesso, dimostriamo il seguente teorema:
Primo Teorema di Cauchy
Se f(z) è olomorfa nel campo connesso A, per ogni dominio regolare D contenuto in A, riesce

Per la dimostrazione scarica il file pdf

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