[¯|¯] Olomorfia della derivata logaritmica della funzione zeta |

[¯|¯] Olomorfia della derivata logaritmica della funzione zeta

Agosto 7th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Nel numero precedente abbiamo dimostrato che gli zeri della funzione zeta sono le singolarità della derivata logaritmica. Scriviamo ora la formula della funzione zeta nella forma euleriana:

il cui campo di convergenza è il seguente campo a connessione lineare semplice:

rammentando che la funzione zeta è olomorfa in A. Inoltre, è stato dimostrato che la zeta è ivi priva di zeri. Prendiamo con le dovute cautele il logaritmo della zeta:

Per "dovute cautele" intendiamo il fatto che nel campo complesso la funzione logaritmo è polidroma. Infatti, scrivendo nella forma polare:

si ha

per cui il logaritmo è definito a meno di multipli interi di 2π:

Per convenzione si assume k=0. Ciò premesso:

Sviluppando -ln(1-p^-z) in serie di Taylor rispetto a p^-z:

onde

Enumerando i primi:

Per quanto precede, le singolarità della derivata logaritmica

sono tutti e soli gli zeri della zeta, che è a sua volta priva di zeri in A, onde la derivata logaritmica è ivi olomorfa. La funzione lnζ(z) è manifestamente olomorfa in A, per cui la serie a secondo membro dell'equazione scritta più sopra converge uniformemente in A. Ciò ci permette di eseguire una derivazione termine a termine: