[¯|¯] Gradiente di un campo scalare

Luglio 31st, 2019 | by Marcello Colozzo |

Per un assegnato campo scalare ci poniamo il seguente problema: in quale direzione dello spazio dobbiamo muoverci per poter misurare la massima variazione del campo U(x,y,z)? Un tentativo di risposta è rappresentato dal calcolo delle derivate parziali della funzione U(x,y,z). Tuttavia, tali derivate forniscono la velocità di variazione del campo nella direzione degli assi coordinati. Ne consegue che l'informazione che stiamo cercando la possiamo trovare nel campo vettoriale

che chiamiamo gradiente di U è lo denotiamo come

Si noti che tale espressione può essere ottenuta, introducendo il seguente operatore differenziale (chiamato nabla):

Ne consegue che il gradiente di U altro non è che il risultato dell'operatore nabla alla funzione U:

Dalla linearità degli operatori di derivazione

segue la linearità dell'operatore nabla e quindi dell'operazione che ci fa passare al gradiente, cosìcché

Dal momento che nabla è simbolicamente un vettore, sussistono le usuale operazioni del calcolo vettoriale. La più interessante è il prodotto scalare per sé stesso:

che definisce l'operatore di Laplace o laplaciano:

Il prodotto scalare di nabla per un campo vettoriale restituisce la divergenza di quest'ultimo:

In due dimensioni avevamo dimostrato che il gradiente è ortogonale alle curve di livello. Tale proprietà ovviamente è indipendente dalla dimensionalità ovvero dal numero di variabili indipendenti, per cui nel caso di un campo scalare U(x,y,z), il gradiente è ortogonale alle superfici di livello.
Ritornando alla domanda iniziale, la risposta si trova nel calcolo della derivata direzionale. In altri termini, assegnata una direzione orientata di versore n, è possibile determinare la derivata della funzione U(x,y,z) secondo la direzione n. Per fare ciò si utilizza la definizione di derivata quale limite del rapporto incrementale. Non è difficile dimostrare che

dove il primo membro simboleggia la predetta derivata. Si noti che se scegliamo come direzione uno degli assi coordinati, ad esempio l'asse x, la derivata direzionale si identifica con la derivata parziale rispetto a x. In altri termini, le derivate parziali sono particolari derivate direzionali (in cui le direzioni sono quelle degli assi coordinati). Inoltre, dall'eq. scritta più sopra vediamo che la derivata direzionale di U, assume il massimo valore nella direzione del gradiente di U. Ed è questa la risposta al quesito iniziale: per misurare la max variazione del campo, dobbiamo muoverci nella direzione del gradiente di tale campo. La fig. 1 illustra l'andamento del gradiente relativamente alle curve di livello per un campo scalare in due dimensioni.

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