[¯|¯] Radar-ranging nello spaziotempo: impossibile determinare le distanze

Luglio 11th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Il nostro astronavigatore è operativamente in grado di determinare la posizione della sua astronave nello spazio fisico e di eseguire misure di intervalli di tempo. Supponendo infatti, che l'astronave compia un moto inerziale, rammentando poi che per Einstein un tale moto avviene quando la risultante delle forze non gravitazionali è nulla, la cosa più probabile è che essa sia soggetta a campi gravitazionali ovvero in "caduta libera".
Il problema che ci poniamo oggi è: "come determinare le distanze tra punti dello spazio fisico?" Per provare a rispondere a tale quesito, riscriviamo innanzitutto la relazione temporale trovata in precedenza, ovvero:

Tale equazione fornisce una semplice interpretazione fisica della componente tempo-tempo del tensore metrico: tale componente determina l'intervallo di tempo misurato da un orologio in quiete (tempo proprio) in seguito a uno «spostamento» dx°. Il significato fisico delle rimanenti componenti della metrica, è essenzialmente legato al problema della determinazione della distanza nello spazio fisico 3-dimensionale. A tale scopo, consideriamo una coppia di punti infinitamente vicini del predetto spazio. Precisamente:

I singoli punti sono poi muniti di un orologio. Per ipotesi al «tempo» x°+dx°(-) il punto B emette un segnale luminoso verso A, il quale ultimo lo riceve in x° per rifletterlo istantaneamente verso B, che a sua volta riceverà il segnale al tempo x°+dx°(+). Abbiamo, quindi, la configurazione spazio-temporale illustrata in figura:

Le linee continue sono le linee di universo dei punti in quiete ed infinitamente vicini A e B, mentre le linee in tratteggio sono le linee di universo del segnale trasmesso e riflesso, rispettivamente.

Denotando con dτ la durata del processo di propagazione (andata e ritorno) del segnale, misurato dall'orologio di B, si ha:

essendo dl la distanza spaziale tra i punti A e B. Questa è la grandezza che stiamo cercando. Innanzitutto ricordiamo che la propagazione di un segnale luminoso è tale che per una qualunque coppia di eventi infinitamente vicini e che compongono la linea di universo del segnale:

Conviene scrivere il primo membro separando le componenti spaziali da quelle temporali, come nella formula trovata nella lezione precedente, cosicché

che risolta rispetto a dx°, restituisce

Per quanto precede, la durata dell'intero processo è

Segue

e tenendo conto dell'equazione scritta più sopra

che fornisce la distanza tra i punti A e B. Tale relazione definisce il tensore metrico dello spazio 3-dimensionale:

onde

Esplicitando la dipendenza funzionale delle coordinate del generico evento, si ha:

Per punti dello spazio fisico posti a distanza finita, dobbiamo integrare la relazione precedente lungo un'assegnata curva C che congiunge i predetti punti:

Dalla dipendenza di tale integrale dalla coordinata temporale x° (giacché la metrica dipende da tale variabile), si ha che in Relatività Generale non è possibile determinare univocamente la distanza tra due punti, se non localmente i.e. per una qualunque coppia di punti infinitamente vicini. Fanno eccezione le metriche che non dipendono dalla coordinata temporale.

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