[¯|¯] Disuguaglianza di Schwartz in uno spazio euclideo

Maggio 13th, 2019 | by Marcello Colozzo |

disuguaglianza di Schwartz,spazio euclideo

Sia E uno spazio vettoriale propriamente euclideo.
Definizione
Il numero reale non negativo


si dice norma del vettore u.

Da tale definizione segue banalmente

Proposizione (Disuguaglianza di Schwarz)

Dim.

La proposizione è banale se uno dei due vettori è il vettore nullo, per cui consideriamo non nulli entrambi i vettori. Definiamo


Sviluppando il prodotto scalare:

Cioè il trinomio di secondo grado


che è non negativo, in quanto


onde il suo discriminante è non positivo


da cui l'asserto.
Passiamo alla seconda parte del teorema.


in tal caso il trinomio ha un solo zero:


Cioè


c.d.d.

Proposizione (Disuguaglianza triangolare)


Dim.

Riprendendo il trinomio della dimostrazione precedente:


onde l'asserto



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