[¯|¯] Disuguaglianza di Schwartz in uno spazio euclideo

lunedì, Maggio 13th, 2019

disuguaglianza di Schwartz,spazio euclideo

Sia E uno spazio vettoriale propriamente euclideo.
Definizione
Il numero reale non negativo


si dice
norma del vettore u.

Da tale definizione segue banalmente

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[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea

sabato, Marzo 4th, 2017

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Nel post precedente abbiamo introdotto la nozione di valore efficace di una funzione continua. Procediamo ora con la seguente definizione:
Definizione 1
Comunque prendiamo un elemento f dello spazio funzionale C([a,b]), chiamiamo funzione dissipativa associata a f l'elemento di C([a,b]) dato da

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essendo ß un numero reale positivo assegnato.

Definizione 2
La potenza istantanea dissipata dalla Rf(x) è

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Da ciò segue che il valor medio di Wf(x) è:
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Cioè
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Per esplicitare il significato di tali locuzioni consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x in un campo di forze F(x) e sotto l'azione di una forza viscosa, come illustrato in figura:

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Diagramma delle forze agenti sulla particella. F è la forza attiva, mentre R è la resistenza passiva (forza viscosa).


In regime lineare
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dove b>0 e v è il vettore velocità. Per la seconda legge di Newton:
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essendo i il versore dell'asse x. Proiettando tale equazione vettoriale sull'asse x, otteniamo l'equazione scalare:

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Cioè
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avendo definito il coefficiente di smorzamento per unità di massa:

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Abbiamo così ottenuto un'equazione differenziale lineare del primo ordine in v(t). Per F=0 tale equazione è omogenea, per cui abbiamo il seguente problema di Cauchy:

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la cui unica soluzione è

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dove

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è una costante di tempo. Precisamente:

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L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico, giacché stiamo considerando F(x)=0. Quindi
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Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

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viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è

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Se ci riferiamo all'unità di massa:

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il cui valor medio nel tempo è:

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dove
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