[¯|¯] Equazione fondamentale per l'equilibrio di un sistema autogravitante

Marzo 23rd, 2019 | by Marcello Colozzo |

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In una prima e rozza approssimazione, modellizziamo una stella attraverso un fluido (in condizioni stazionarie) di densità

dove D è il dominio di R³ occupato dal fluido. Assumendo una distribuzione sfericamente simmetrica, si ha:

avendo istituito un sistema di coordinate polari (r,θ,φ) con polo nel centro di simmetria della distribuzione di raggio R, cosicché

La massa contenuta in una sfera Σ_r di raggio r < R, centrata nel predetto polo, è

La massa totale della distribuzione, i.e. della stella, è

Ciò premesso, ricaviamo la condizione di equilibrio dinamico del sistema, nel senso che esso non si espande e non si contrae o ciò che è lo stesso, la configurazione dinamica conserva il raggio R. A tale scopo riprendiamo la generica sfera Σ_r di raggio r < R, considerando anche la sfera Σ_r+dr di raggio r+dr, e quindi un cilindro C infinitesimo circolare retto di area di base dσ e altezza dr, come illustrato in fig.

In virtù dell'isotropia del sistema, derivante dalla simmetria sferica, la pressione del fluido dipende dalla sola coordinate radiale, cioè una funzione P(r) che si annulla sul bordo della stella, cioè P(R)=0.

Inoltre

La forza agente sul cilindro dovuta alla pressione, è un vettore diretto radialmente e orientato nel verso delle r crescenti, e di modulo:

Sullo stesso cilindro agisce la forza di gravità esercitata da M(r), diretta radialmente e orientata nel verso delle r decrescenti:

dove G è la costante di gravitazione universale e dm è la massa del cilindro:

onde

In condizioni di equilibrio dinamico, dovrà aversi:

Segue

Dall'eq. scritta più sopra:

che sostituita nella precedente:

Tale equazione differenziale esprime localmente la condizione di equilibrio dinamico del sistema, ed è nota come equazione fondamentale dell'equilibrio.

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