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[¯|¯] Soluzioni locali dell'equazione di Thomas-Fermi

In quest'articolo proponiamo un metodo per la ricerca delle soluzioni della celebre equazione di Thomas-Fermi
In estrema sintesi: si tratta di risolvere un assegnato "problema ai limiti" (o sui "bordi"). La difficoltà sta nel fatto che la prima condizione è su x=0. Ma tale punto è una singolarità per l'equazione, e ciò rende impossibile l'utilizzo di un qualunque metodo di analisi numerica. La strategia consiste nel fatto che l'equazione di TF non contiene la derivata prima della funzione incognita, per cui possiamo giocarcela su questa circostanza.

Ciò ci consentirà di trovare una soluzione ESATTA ma locale, cioè valida in un opportuno intorno dell'origine. Le soluzioni locali sono oo¹ in quanto definite a meno di un parametro che determina il valore assunto dalla derivata prima in x=0, e ciò è ragionevole perché l'equazione è del secondo ordine, per cui imponendo una sola condizione ai limiti, escono fuori infinite soluzioni. A questo punto si calcolano i valori assunti da una delle infinite soluzioni e dalla derivata prima sull'estremo dell'intorno (che non è punto singolare). Questi valori compongono un problema di Cauchy. In tal modo, siamo riusciti a trasformare un problema ai limiti in un problema di Cauchy che, come è noto, è molto più maneggevole anche perché sono verificate le ipotesi del teorema di Cauchy-Lipschitz

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