[¯|¯] Criterio 3 di sommabilità (utile per gli esercizi)

Febbraio 25th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Notiamo che la dimostrazione della prima parte del criterio 2 non è invalidata se risulta l=0. Più precisamente, consideriamo il caso

per cui resta dimostrata la sommabilità. Ma l'equazione appena scritta ci sta dicendo che l'infinito f(x) ha ordine indeterminato, ma comunque < 1. Alla stessa maniera, la dimostrazione della seconda parte non è invalidata se risulta l=+oo. Più precisamente, consideriamo il caso

Cioè f(x) è un infinito di ordine indeterminato, ma comunque non inferiore a 1. Resta così dimostrato il criterio:
Criterio 3
Sia f continua in [a,b]-{x₀}, con x₀ tale che f è ivi infinita:

Sia poi assegnato l'infinito di riferimento

Se f è un infinito di ordine indeterminato ma comunque < 1, cioè se
allora f è sommabile in [a,b].

Se f è un infinito di ordine indeterminato ma comunque non inferiore a 1, cioè se

allora f non è sommabile in [a,b].

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