[¯|¯] Applicazioni delle formule di Green: formule di riduzione degli integrali doppi

Maggio 24th, 2017 | by Marcello Colozzo |

formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide — **Fig. 1**

Supponiamo di dover calcolare l'integrale doppio:

dove f(x,y) è una funzione continua nel dominio D regolare rispetto all'asse y, nell'ipotesi in cui è nota una primitiva F(x,y) di f(x,y) rispetto a x:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Ne consegue
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Per la prima formula di Green si ha:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

che riduce l'integrale doppio proposto in un integrale semplice, sia pur curvilineo. In particolare, per f(x,y)=1 una primitiva è F(x,y)=x, onde
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Cioè

In maniera analoga, se D è un dominio regolare rispetto all'asse x, si ha:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Se poi D è un dominio regolare rispetto a entrambi gli assi coordinati, sommando membro a membro le formule trovate:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Esempio
Sia D il dominio limitato dall'asteroide:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

graficato in fig. 1. Dal momento che si tratta di un dominio regolare, la sua area si esprime come
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Calcoliamo a parte
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Segue

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