[¯|¯] Applicazioni delle formule di Green: formule di riduzione degli integrali doppi

mercoledì, Maggio 24th, 2017

formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide
Fig. 1

Supponiamo di dover calcolare l'integrale doppio:

formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

dove f(x,y) è una funzione continua nel dominio D regolare rispetto all'asse y, nell'ipotesi in cui è nota una primitiva F(x,y) di f(x,y) rispetto a x:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Ne consegue
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Per la prima formula di Green si ha:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

che riduce l'integrale doppio proposto in un integrale semplice, sia pur curvilineo. In particolare, per f(x,y)=1 una primitiva è F(x,y)=x, onde
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

Cioè
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

In maniera analoga, se D è un dominio regolare rispetto all'asse x, si ha:
formule di green, formule di riduzione integrali doppi,area asteroide

(altro…)




[¯|¯] Il Teorema di Green (formule di Green nel piano)

mercoledì, Maggio 24th, 2017

teorema di green, formule di green, integrale di circuitazione

Nella lezione di oggi dimostriamo il Teorema di Green (o formule di Green) per funzioni di più variabili. Tale importante teorema esprime un integrale doppio in termini di un integrale di circuitazione esteso alla frontiera del dominio di integrazione.

La dimostrazione viene eseguita "manualmente" ovvero esplicitando gli integrali che compaiono a primo e secondo membro. I primi attraverso le note formule di riduzione degli integrali doppi.
(altro…)