Il mistero delle "soluzioni fantasma" dell'equazione di Schrödinger

[¯|¯] Il mistero delle "soluzioni fantasma" dell'equazione di Schrödinger

Maggio 17th, 2017 | by Marcello Colozzo |

meccanica quantistica, equazione di schrödinger,funzione d'onda

Nella fisica moderna una particella è un fantasma che si propaga nel nulla
Bertand Russel

Sintesi dei risultati dell'handbook Introduzione al formalismo matematico della Meccanica quantistica

Una serie di dati empirici che hanno determinato la crisi della Fisica classica, è rappresentata dall'esistenza di una classe di sistemi meccanici per i quali l'evoluzione dinamica dello stato (q,dq/dt) ove q denota il vettore delle coordinate generalizzate, non è deterministica. Per tali sistemi si rinuncia a una descrizione in termini delle predette variabili, recuperando il determinismo fisico attraverso una grandezza vibrante complessa ψ(q,t) (i.e. funzione d'onda) soluzione dell'equazione d'onda di Schrödinger che in forma operatoriale dà luogo al seguente problema di Cauchy:

dove ψ è ora interpretabile come un vettore non nullo di un appropriato spazio di Hilbert, mentre H è un endomorfismo autoaggiunto del predetto spazio, che caratterizza e specifica univocamente il sistema meccanico assegnato. Per il teorema di esistenza ed unicità segue che tale problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione. Ne consegue che l'evoluzione dinamica del vettore ψ è univocamente determinata dal suo valore inziale ψ₀ e dall'operatore lineare H. Abbiamo poi visto che tale soluzione può essere scritta come:

essendo U(t) l'operatore di evoluzione temporale
meccanica quantistica, equazione di schrödinger,funzione d'onda

che è un operatore unitario, per cui l'evoluzione temporale di un tale sistema è una trasformazione unitaria dello spazio di Hilbert associato al sistema medesimo. Il significato fisico della grandezza ψ è inglobato in una identità funzionale che nel caso di un sistema composto da una sola particella il cui numero di gradi di libertà è pari a 1, si scrive:

dove ρ(x,t) è la densità di probabilità di trovare la particella al tempo t in un intorno infinitesimo di x.

Queste considerazioni innescano una serie di problemi ontologici circa la realtà della funzione d'onda soprattutto in relazione al paradosso della misura. Concludiamo che in linea di principio, è possibile estendere il procedimento di "costruzione" della grandezza ψ per sistemi più generali di quelli visti. Ad esempio, per un sistema per il quale l'ascissa x è una variabile aleatoria, è possibile associare una grandezza ψ tale che |ψ|² definisce la densità di probabilità per quel dato processo aleatorio. La funzione ψ può essere quindi riguardata come un vettore di uno spazio funzionale assegnato, quindi soluzione di un problema di Cauchy del tipo: