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[¯|¯] Regolarità di una rappresentazione parametrica e iniettività locale

Marzo 25th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Nel post precedente abbiamo introdotto il concetto di "traiettoria" di un punto materiale rispetto a un'assegnata terna di riferimento K(Oxyz). Esaminiamo ora tale nozione dal punto di vista della Geometria differenziale.

Definizione
Una rappresentazione parametrica

si dice regolare se:

Una curva ammette infinite rappresentazioni parametriche. Ad esempio, consideriamo

Eseguiamo il cambio di parametro:

Risulta

che definisce una nuova rappresentazione parametrica della stessa curva, ottenuta mediante una riparametrizzazione.

Supponiamo ora di avere una curva Γ di rappresentazione parametrica regolare:

Con linguaggio improprio, chiamiamo Γ curva regolare. L'improprietà deriva dal fatto che una curva regolare è una classe di equivalenza nell'insieme delle sue rappresentazioni parametriche. In termini meno rigorosi, una curva regolare è l'elemento che accomuna un insieme di rappresentazioni parametriche regolari.
Definizione
Assegnata la curva regolare

un campo vettoriale u(t) lungo la curva Γ è la funzione vettoriale della variabile reale t:

come mostrato nella seguente figura:


Definizione
Un campo vettoriale u(t) lungo Γ è parallelo se

Definizione
La curva regolare

è semplice se la funzione vettoriale x(t) è iniettiva nella base X. Geometricamente la semplicità della curva si traduce nell'assenza di punti multipli:

Lemma
Se x=x(t) è una rappresentazione parametrica regolare, la funzione vettoriale x(t) è localmente iniettiva.
Dimostrazione
Dalla regolarità della rappresentazione parametrica segue

Quindi

Senza perdita di generalità supponiamo che sia

Abbiamo:

L'ultima implicazione si dimostra per assurdo utilizzando il teorema di Rolle:

Ma ciò è assurdo poichè è

per cui è necessariamente

In definitiva:

Osservazione
Il lemma appena dimostrato assicura l'iniettività locale di una rappresentazione parametrica regolare x(t), ma non l'iniettività globale. In altri termini, una curva regolare Γ può essere dotata di punti multipli. Di contro, comunque prendiamo t₀ in X, esiste un intorno I_δ(t₀) tale che Γ è ivi priva di punti multipli.

Tags: curve regolari, iniettività globale, iniettività locale, rappresentazione parametrica

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