» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea (aggiornamento)

domenica, Marzo 5th, 2017

Per esplicitare il significato fisico delle locuzioni introdotte nel Aggiornamento del post precedente consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x sotto l'azione di una forza "attiva" F(x,v,t), dove v è il vettore velocità della particella, e di una resistenza passiva R come illustrato nella figura seguente:

In regime lineare

dove b>0 è un coefficiente di proporzionalita. È preferibile riferirsi al reciproco di b, la cosiddetta mobilità

Per la seconda legge di Newton:

Cioè

dove

è il tempo di rilassamento, mentre

è la forza attiva per unità di massa. Dal momento che il moto è unidimensionale, si ha che possiamo scrivere:

A questo punto osserviamo che lo scenario appena descritto caratterizza il moto di un corpuscolo (nota come particella browniana) in un fluido viscoso. Basta infatti aggiungere un'altra dimensione per caratterizzare un moto 2-dimensionale che rappresenta una situazione più realistica. Riguardo al significato fisico del tempo di rilassamento, osserviamo che

In altri termini, la costante τ_r fissa la scala dei tempi in cui agisce la resistenza passiva dovuta alla viscosità del fluido. Infatti, dalle relazioni precedenti vediamo che in un fluido infinitamente viscoso, il moto della particella è istantaneamente smorzato. Di contro, in assenza di viscosità il moto risulta smorzato dopo un tempo infinito, cioè mai.
Abbiamo già tratto questo problema, studiando il moto browniano descritto dall'equazione di Langevin:

in cui α(t) è la forza istantanea per unità di massa derivante dagli urti particella-molecole del fluido. Si noti che a differenza della "vecchia" equazione in cui la forza dipende oltre che dal tempo, dalla posizione e velocità, nell'equazione di Langevin dipende solo dal tempo. Avevamo poi trovato la seguente soluzione dell'equazione di Langevin:

che dipende ovviamente dalla α(t), che avevamo descritto attraverso una grandezza aleatoria, e che a sua volta caratterizza la soluzione a regime:

giacché

Se consideriamo il caso particolare di una sola particella, si ha che α(t)=0 per cui:

L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico:

Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è

Se ci riferiamo all'unità di massa:

dove

Il valor medio nel tempo è:

dove

Queste formule giustificano le definizioni astratte date in questo post. Inoltre per quanto precede, se v=v(t) necessariamente si ha

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Moto browniano (random walk)

lunedì, Settembre 19th, 2016

Consideriamo un sistema dinamico costituito da una particella di massa m che si muove in un fluido viscoso. Per semplicità consideriamo uno scenario bidimensionale in cui il moto si svoge nel piano cartesiano Oxy, come illustrato in figura.

in cui è riportato il diagramma delle forze agenti sulla particella in un generico istante t:
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