[¯|¯] L'oscillatore di Langevin

lunedì, Marzo 6th, 2017

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Fig. 1. Diagramma orario dell'oscillatore di Langevin che si muove in un fluido caratterizzato da una costante di tempo τ=1 sec.


A questo punto ci possiamo "divertire", ad esempio generalizzando l'equazione di Langevin che descrive il moto di una particella browniana. Supponiamo che tale particella sia soggetta oltre alla forza viscosa.

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dove ß è la mobilità, a una forza di richiamo elastica
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essendo k la costante elastica. In tal caso l'equazione differenziale del moto è

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Qui ω=sqrt(k/m) è la pulsazione mentre τ=ßm è la costante di tempo della forza viscosa. Al solito, α(t) descrive la dinamica degli urti particella-molecole del fluido.
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[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea (aggiornamento)

domenica, Marzo 5th, 2017

Per esplicitare il significato fisico delle locuzioni introdotte nel Aggiornamento del post precedente consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x sotto l'azione di una forza "attiva" F(x,v,t), dove v è il vettore velocità della particella, e di una resistenza passiva R come illustrato nella figura seguente:

In regime lineare

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dove b>0 è un coefficiente di proporzionalita. È preferibile riferirsi al reciproco di b, la cosiddetta mobilità
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Per la seconda legge di Newton:

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Cioè

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dove

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è il tempo di rilassamento, mentre
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è la forza attiva per unità di massa. Dal momento che il moto è unidimensionale, si ha che possiamo scrivere:
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A questo punto osserviamo che lo scenario appena descritto caratterizza il moto di un corpuscolo (nota come particella browniana) in un fluido viscoso. Basta infatti aggiungere un'altra dimensione per caratterizzare un moto 2-dimensionale che rappresenta una situazione più realistica. Riguardo al significato fisico del tempo di rilassamento, osserviamo che

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In altri termini, la costante τr fissa la scala dei tempi in cui agisce la resistenza passiva dovuta alla viscosità del fluido. Infatti, dalle relazioni precedenti vediamo che in un fluido infinitamente viscoso, il moto della particella è istantaneamente smorzato. Di contro, in assenza di viscosità il moto risulta smorzato dopo un tempo infinito, cioè mai.
Abbiamo già tratto questo problema, studiando il moto browniano descritto dall'equazione di Langevin:
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in cui α(t) è la forza istantanea per unità di massa derivante dagli urti particella-molecole del fluido. Si noti che a differenza della "vecchia" equazione in cui la forza dipende oltre che dal tempo, dalla posizione e velocità, nell'equazione di Langevin dipende solo dal tempo. Avevamo poi trovato la seguente soluzione dell'equazione di Langevin:

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che dipende ovviamente dalla α(t), che avevamo descritto attraverso una grandezza aleatoria, e che a sua volta caratterizza la soluzione a regime:

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giacché
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Se consideriamo il caso particolare di una sola particella, si ha che α(t)=0 per cui:
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L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico:
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Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale
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viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è
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Se ci riferiamo all'unità di massa:

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dove
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Il valor medio nel tempo è:
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dove
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Queste formule giustificano le definizioni astratte date in questo post. Inoltre per quanto precede, se v=v(t) necessariamente si ha
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