» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Occhio alla non periodicità

Febbraio 18th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio
Classificare i punti di discontinuità della funzione

Soluzione
Tale funzione non è periodica, giacché non lo è la base. È definita per

La disequazione non può essere risolta analiticamente, per cui si ricorre alla via numerica, calcolando dapprima la radice dell'equazione

ottenendo

Utilizzando Mathematica tracciamo il grafico di

ottenendo il plot di fig. 2.

da cui vediamo

Tale conclusione è corroborata dal grafico di fig 3.

Ne consegue che la funzione assegnata è definita in

Da ciò segue che in x=0 la funzione non è definita. Calcoliamo dunque

Per rimuovere l'indeterminazione applichiamo il procedimento standard forzando la base:

da cui

Dalla (6)

mentre il limite diventa

essendo

Il primo limite è immediato. Infatti basta porre

onde

mentre

Calcoliamo λ₂

Anziché applicare la regola di De L'Hospital, dividiamo numeratore e denominatore per x:

Calcoliamo

dove ci siamo serviti del limite noto









Ne consegue

Finalmente

cosicché x=0 è un punto di discontinuità eliminabile. Restano da classificare gli infiniti punti di discontinuità

Osservando che le predette discontinuità provengono dall'esponente cotx, occorre e basta studiare il comportamento della funzione in un intorno di &pi:, calcolando

Calcoliamo il limite sinistro:

Calcoliamo il limite destro:

Ne concludiamo che x=π è un punto di discontinuità di seconda specie e tali saranno gli infiniti punti:

Infine:

In fig. 1 riportiamo il grafico della funzione in [0,2π].

Tags: limite destro, limite sinitro, limiti di funzioni esponenziali, Punti di discontinuità

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