[¯|¯] Esempio di sottospazio vettoriale di R^n

Dicembre 24th, 2016 | by Marcello Colozzo |

sottospazio vettoriale,base,dimensione



Esercizio

Nello spazio vettoriale Rn si consideri l'insieme:

sottospazio vettoriale,base,dimensione

dove m<=n. Si dimostri che Wm è un sottospazio vettoriale di Rn (n-m)-dimensionale. Discutere il caso m=n.


Soluzione
Prendiamo ad arbitrio due elementi x,y di Wm:

sottospazio vettoriale,base,dimensione

Segue

sottospazio vettoriale,base,dimensione

onde
sottospazio vettoriale,base,dimensione

Prendiamo ad arbitrio x in Wm e λ in R:
sottospazio vettoriale,base,dimensione









Quindi

sottospazio vettoriale,base,dimensione

Per determinarne la dimensione, ricerchiamo una base. A tale scopo occorre e basta osservare che un qualunque vettore x in Wm si scrive come:

sottospazio vettoriale,base,dimensione

Segue che una base di Wm è {u1,u2,...,un-m}, dove
sottospazio vettoriale,base,dimensione

avendosi
sottospazio vettoriale,base,dimensione

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