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Serie di Fourier: la strana relazione tra il nucleo di Dirichet e la funzione delta di Dirac

Alle prese con l'articolo per emcelettronica.com. La convergenza di una serie di Fourier si "gioca" sul nucleo di Dirichlet e sembra che ci sia una qualche relazione con la delta di Dirac.

Supponiamo di avere una funzione periodica f(x) di periodo 2pi, quindi la serie di Fourier associata a f è:

con i coefficienti di Fourier dati da:

mentre la somma parziale di ordine n è:

e sostituendo in questa equazione l'espressione dei coefficienti, e facendo un sacco di noiosi passaggi si giunge a

In questa formula la funzione Dn che compare nell'integrando, è il famigerato nucleo di Dirichlet, la cui espressione è:

Ora prendiamo un punto x0 di continuità per f (per ipotesi f è generalmente continua e di modulo sommabile); dopo aver fatto un ulteriore cambio di variabile:

Ciò vuol dire che alla somma parziale di ordine n calcolata in x0, contribuiscono TUTTI i valori assunti da f in [x0-pi,x0+pi]. E tali valori sono pesati dal nucleo di Dirichlet. Per piccoli n, la distribuzione Dn è ampia, ma al crescere indefinito di n, si assottiglia intorno all'origine con un massimo estremamente piccato:

Per n->+oo e se in x0 la serie di Fourier converge a f(x0):

passando alla funzione sinc(x)=sin(x)/x, la relazione precedente equivale a quest'altra:

Per i dettagli leggi il file pdf

Tags: Funzioni periodiche, nucleo di Dirichlet, Serie di Fourier