Sistemi dinamici: linearità vs non-linearità. Il caso della crescita esponenziale

Marzo 7th, 2016 | by Marcello Colozzo |

L'efficacia dell'algoritmo ricorsivo deriva dal fatto che permette di conoscere l'evoluzione di un sistema dinamico non-lineare. Con tale locuzione intendiamo un sistema regolato da un'equazione differenziale non-lineare. Nel caso speciale dei sistemi autonomi del primo ordine:

dinamica non lineare,crescita esponenziale,delta di dirac

con F(x) funzione non lineare. Di contro, i sistemi lineari sono, in linea di principio, integrabili e al contempo non destano interesse, poichè è raro trovare in natura siffatti sistemi. Detto in un altro modo, la non linearità sembra essere la regola e non l'eccezione. La linearità, invece, porta a risultati previdibili e - metaforicamente parlando - scontati.

Per mostrare questa divergenza di comportamento, partiamo proprio con i sistemi lineari più semplici, come ad esempio:
dinamica non lineare,crescita esponenziale,delta di dirac

Assumendo x(t=0)=1, si perviene all'unica soluzione:

ovvero la classica crescita esponenziale. Passando al corrispondente sistema dinamico a tempo discreto, troviamo la funzione di trasferimento:
dinamica non lineare,crescita esponenziale,delta di dirac

Ne consegue che non esistono punti fissi e l'unica evoluzione possibile di questo particolare sistema dinamico è l'allontamento esponenziale dallo stato iniziale, come illustrato in figura:

Studiando il comportamento del processo ricorsivo:

è facile persuadersi che lim_{n→+∞}f_{n}(x) è una funzione lineare con coefficiente angolare +∞. In altri termini, il grafico di lim_{n→+∞}f_{n}(x) è l'asse y. Tale circostanza ci ricorda la funzione delta di Dirac, per cui siamo tentati a scrivere: