[¯|¯] Grafico di una funzione reale di una variabile reale

Settembre 15th, 2014 | by extrabyte |

grafico di una funzione,diagramma cartesiano

Sia f una funzione reale di una variabile reale definita in X.

Definizione
Dicesi grafico o diagramma cartesiano della funzione f, il sottoinsieme di R²:

Fissiamo, in un piano, un riferimento cartesiano ortogonale R(Oxy). Sull'asse x riportiamo l'insieme di definizione X, mentre sull'asse y il valore assunto da f nel generico punto x appartente all'insieme di definizione X, cioè il numero reale f(x). Al variare di x in X, il punto del piano P(x,f(x)) descrive un luogo geometrico che è, appunto, il grafico Γ_f dato dalla precedente realazione. Cioè:

In altri termini, Γ_f è il luogo di equazione y=f(x). È facile convincersi che X è la proiezione ortogonale di Γ_f sull'asse x, mentre il codominio di f, cioè l'insieme f(X), è la proiezione ortogonale di Γ_f sull'asse y. Ad esempio, consideriamo la funzione:

dove X=[-1,1]. Il grafico di tale funzione è

cioè l'arco di parabola avente il vertice nell'origine e di estremi A(-1,1) e B(1,1) come illustrato in fig. 1.
Comunque assegniamo una funzione reale di una variabile reale f:X->Y, resta univocamente definito il suo grafico Γ_f e viceversa. In simboli:

per cui l'equazione cartesiana di Γ_f, cioè y=f(x), è utilizzata per individuare la funzione medesima, in forza della predetta corrispondenza biunivoca. Il numero reale x si dice variabile indipendente, mentre il valore assunto da f, ovvero il numero reale y è la variabile dipendente. Alternativamente, possiamo dire che y è funzione di x.
Siccome consideriamo funzioni monodrome, cioè a un sol valore, segue che ogni retta verticale x=x₀ (con x₀ appartenente a X) interseca in uno e un solo punto il grafico di f. Precisamente:

dove

Il diagramma di una funzione svolge un ruolo fondamentale nelle scienze applicate. Si pensi, ad esempio, ad una grandezza fisica G che varia in funzione del tempo t secondo una legge data da una funzione reale della variabile reale t: