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[¯|¯] Differenziabilità di una funzione vettoriale di variabile vettoriale (parte 2)

10 Febbraio, 2020 | by Marcello Colozzo |

funzione vettoriale,differenziabilità


A questo punto ci chiediamo: "cos'è Λ(u)?" Per quanto precede, tale funzione vettoriale lineare (della variabile u) è la derivata della funzione vettoriale f(x) secondo la direzione u, calcolata in x0:


Si noti che Λ(u) dipende anche da x0, che tuttavia si comporta alla stregua di un parametro, giacché noi fissiamo tale punto per poi calcolare la derivata secondo la predetta direzione. Se ques'ultima è definita da uno dei vettori di base, per quanto già stabilito:











Ora riscriviamo l'incremento di f


Riesce


Ne consegue


dove il penultimo passaggio segue dalla linearità di Λ. Tenendo presente che hu è l'incremento della variabile (vettoriale) indipendente:


Quindi


cioè Λ(hu) è il differenziale di f calcolato in x0. Quindi la differenziabilità della funzione vettoriale si riesprime:


dove

A questo link un esercizio svolto.

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