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[¯|¯] Criterio 1 di sommabilità (utile per gli esercizi)

Febbraio 23rd, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzioni sommabili,criteri sufficienti
Fig. 1

Per lo svolgimento degli esercizi sono utili altri criteri (sufficienti). Vediamo il n. 1 in cui consideriamo una funzione reale f della variabile reale x e un intervallo limitato [a,b].
Criterio 1
Sia f continua in [a,b]-{x0}, con x0 punto di discontinuità di seconda specie

Dim.

Poniamo


Da questo esempio


da cui l'asserto 1 in virtù del criterio 2 del n. precedente. La parte 2 si dimostra in maniera analoga.









Esempio
Consideriamo la funzione


nell'intervallo (0,1]. Il punto x=0 è di discontinuità di seconda specie, giacché la funzione non ammette limite per x->0. D'altra parte

da cui la sommabilità di f nel predetto intervallo. In fig. 1 è graficata la funzione assegnata. Vediamo che il grafico è un'oscillazione sinusoidale modulata dalle curve y=±x^(1/2), per cui in ogni intorno destro di x=0 la funzione compie infinite oscillazioni di ampiezza divergente per x->0. Tuttavia, l'area del rettangoloide generalizzato è finita. Precisamente, l'integrale si esprime attravero la funzione integrale di Fresnel


trovando



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