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[¯|¯] Una massa M scivolando su un piano inclinato trascina una massa m

Novembre 15th, 2018 | by Marcello Colozzo |

piano inclinato,attrito,carrucola,accelerazione,filo inestensibile
Fig. 1

Esercizio
Lungo un piano inclinato di α sull'orizzontale può scendere strisciando un corpo di massa M che, attraverso un filo inestensibile e di massa nulla, provoca la risalita di una massa m. Supponendo di poter trascurare le perturbazioni indotte dalla puleggia su cui scorre il filo e della resistenza dell'aria, si calcoli l'accelerazione della massa M sapendo che il coefficienti di attrito dinamico con il piano è µ. Determinare, poi, la tensione del filo. Infine, supponendo di poter variare l'angolo di inclinazione, per quale valore di α il sistema è in equilibrio (ammettendo che sia inizialmente fermo)?
Dati: M=10kg ,m=1kg ,α=45°,µ=0.5.


Soluzione

Adottiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy come in fig. 1. Su M agiscono le forze:

  1. P=mg (forza peso)
  2. RN (reazione normale del vincolo).
  3. RT(reazione tangenziale del vincolo (attrito)).
  4. T (tensione del filo).










Se i e j sono i versori degli assi coordinati:

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Per il secondo principio della dinamica:

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Proiettando tale equazione vettoriale sugli assi coordinati otteniamo il sistema di equazioni scalari:

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La seconda si riduce all'identità 0=0, per cui consideriamo solo la prima che qui riscriviamo:
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in cui figurano le incognite x e T. Per ottenere una seconda equazione che lega le predette incognite, applichiamo il secondo principio della dinamica alla massa m. A tale scopo orientiamo un asse verticale z come mostrato in fig. 1. Risulta:

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essendo k il versore dell'asse z. Proiettando tale equazione sull'asse z:
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Segue manifestamente:
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In altri termini, l'inestensibilità del filo implica che le due masse si muovono con la stessa accelerazione. Ovviamente si tratta di due vettori diversi, ed è solo il modulo che coincide. Diversamente, l'allungamento o l'accorciamento del filo determina accelerazioni diverse. In tale ipotesi otteniamo il sistema di equazioni scalari:

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Dalla seconda ricaviamo la tensione del filo:

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che sostituita nella prima porge:

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onde

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Ed è questa l'accelerazione con cui si muovono le due masse.
Per rispondere al secondo quesito utilizziamo l'equazione della tensione ricavata in precedenza:

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Passiamo al terzo quesito. Deve essere:

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Cioè

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Tale equazione trigonometrica non si può risolvere analiticamente. Procedendo numericamente o per via grafica, si ottiene:

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Ne concludiamo che per un angolo di inclinazione 31°.7, le due masse rimangono in equilibrio.



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