[¯|¯] Numeri irrazionali e numeri complessi

Maggio 21st, 2018 | by Anna Cordero Spina |

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Come abbiamo visto in questa lezione, i numeri reali descritti con un numero finito di termini dopo la cifra sono numeri razionali. A questo punto rimane in sospeso la questione se tutti i numeri con infinite cifre significative dopo la virgola siano irrazionali. Dagli esempi già precedentemente introdotti, la risposta è negativa. Gli esempi citati ci dicono che vi sono numeri razionali che hanno un numero infinito di termini dopo la virgola, ma sono periodici. Dimostriamo la seguente asserzione: ogni reale con una parte frazionaria infinita ma periodica è un numero razionale. Per prima cosa torniamo all'esempio esaminato nella lezione precedente, ovvero:

Tale numero si può scrivere come

da cui vediamo che il numero si ripete ogni 6 posti, quindi ogni potenza di 10^-6. Definiamo dunque:

mentre p è un intero della forma:

Siccome p è periodico si ripeterà ogni h posti. Ciò implica che possiamo riscrivere r nella seguente forma:

che è manifestamente razionale. (L'ultimo passaggio avviene per via della somma di una serie geometrica di ragione 10^-h).

Dunque si distinguono tre categorie di numeri frazionari: quelli finiti, quelli infiniti ma periodici e quelli infiniti ma non periodici. I primi due tipi provengono da numeri razionali, l'ultima specie da quelli irrazionali. Come si fa a dirlo? Perché siccome i numeri con parte frazionaria finita o periodica sono numeri razionali, non possono venire da numeri irrazionali, che quindi trovano posto solo nei numeri frazionari infiniti non periodici. Tale distinzione, è la base della differenza tra queste due tipologie di numeri.

Un altro tipo di numeri, come già accennato, sono quelli che nascono dalla necessità di dare "un nome" all'operazione, illecita nei reali, della radice quadrata di un numero negativo. Stiamo parlando della famose unità immaginaria i definita come la radice quadrata del numero -1. Ampliando R con i numeri z=a+ib , dove a e b sono reali, si ottiene un insieme più grande, chiamato insieme dei numeri complessi, simbolicamente indicato con C. La prima cosa che viene agli occhi, è che C, al contrario di R , non è ordinato, perché è formato da coppie di numeri. Ad esempio il numero complesso z=3+7i non può essere confrontato con il numero w=6+4i , perché non si può fare un paragone tra più piccolo e più grande. La prima parte di z, chiamata parte reale, è più piccola della parte reale di w, viceversa la seconda parte di z, chiamata parte immaginaria, è più grande della parte immaginaria di w. L'idea di rappresentare i numeri complessi come punti di un piano:

dovuta essenzialmente a Gauss per lo studio di quella che lui definiva la regina delle teorie matematiche: la teoria dei numeri, si è evoluta in qualcosa di più concreto, che ha che fare con i vettori. Si vedrà che tra quest'ultimi ed numeri complessi, vi sono molte affinità. Per prima cosa, a differenza dei numeri reali i numeri complessi hanno alcune peculiarità in più. Per esempio, per il numero complesso z=a+ib è definito il suo coniugato ovvero il numero complesso z=a-ib. Termine che già si è conosciuto nello studio delle equazioni di secondo grado. Il prodotto ci richiama il teorema di Pitagora, e proprio questa peculiarità farà da " ponte" tra i numeri complessi e i vettori come già si nota nella Fig. 2.