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[¯|¯] Esercizio svolto sui tensori controvarianti di rango 2

giugno 6th, 2017 | by Marcello Colozzo |

tensori controvarianti,rango,prodotto tensoriale
Fig. 1. I due spazi vettoriali E2 e F2 entrambi 2-dimensionali, danno luogo - attraverso il prodotto tensoriale - ad uno spazio vettoriale 4-dimensionale.


Consideriamo il prodotto tensoriale di due spazi 2-dimensionali E2 e F2 sul campo reale R. Se {e1,e2} e {f1,f2} sono due basi dei predetti spazi vettoriali, si ha:

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Osservazione
Per quanto detto in in precedenza avremmo dovuto scrivere:
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ove ηi e ρk denotano le forme lineari che compongono le rispettive basi biduali. D'altra parte, queste ultime si identificano a meno di un inessenziale isomorfismo naturale, con le rispettive basi degli spazi vettoriali assegnati. In tal modo è giustificata la formula precedente.


Senza perdita di generalità, supponiamo che E2 e F2 siano strutturati come spazi euclidei e che le predette basi siano ortonormali (cfr. fig. 1):

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dove · denota il prodotto scalare.









Segue
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Osserviamo infine che il prodotto tensoriale degli spazi vettoriali E2 e F2 è isomorfo al prodotto cartesiano E2×F2, giacché si tratta di spazi vettoriali isodimensionali (per un noto teorema l'isodimensionalità è condizione necessaria e sufficiente per l'isomorfismo):

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