» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Funzione vuota

L'esercizio precedente ha innescato una interessante discussione su un gruppo di Facebook dedicato alla matematica.

Come già ho osservato su facebook, tutto dipende da come si definisce una funzione. Ad esempio, in alcuni testi si dice: assegnati gli insiemi A e B non vuoti, una funzione da A verso B è.... etc. etc. Con questa definizione è ovvio che non c'è possibilità alcuna di "incappare" nella funzione vuota. Perciò ogni volta che si verifica una situazione di questo tipo, la faccenda viene liquidata immediatamente asserendo che una tale funzione è priva di significato. In ogni caso, è più completa una definizione di funzioni che inglobi anche la funzione vuota.

Riguardo alla definizione di quest'ultima, pare che non ci sia accordo. Ad esempio, su wikipedia una funzione è vuota se e solo se il suo dominio è l'insieme vuoto. Con questa definizione, a ogni codominio possiamo associare una funzione vuota. Cioè f_A: phi -> A, dove phi è l'insieme vuoto.

Come ha fatto notare un utente di facebook, secondo Bourbaki, la funzione vuota ha codominio vuoto, cioè è l'applicazione f: phi -> phi. Con questa definizione, esiste ed è unica la funzione vuota. Diversamente, nella definizione di wikipedia, esistono infinite funzioni vuote, ciascuna per ogni codominio A.

Tags: Bourbaki, codominio, dominio, funzione vuota