Vibrazioni e deformazioni (parte 2)

lunedì, Novembre 1st, 2021

vibrazioni,deformazioni,corda,equazione di eulero — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Si consideri un piccolo tratto Δl di corda metallica - densità ρ e sezione A - che lungo la direzione x subisce piccole oscillazioni e chiamiamo con F₁ e F₂ le tensioni applicate alle sue estremità. Determinare velocità di propagazione e frequenza fondamentale di vibrazione.

Soluzione

Seguendo la fig. 1 per piccole oscillazioni possiamo scrivere θ~0 e Δθ è del secondo ordine. Inoltre non essendoci moto lungo l'asse x possiamo pensare che la componente x della forza netta agente su Δl sia nulla. Pertanto:

Per piccoli θ si ha

allora l'equazione sopra diventa

Ma quest'ultima è la forza d'inerzia (massa×accelerazione) applicata al tratto Δl. Quindi:

che è l'equazione di Eulero già incontrata nel precedente esercizio. Poniamo

ed è facile persuadersi che si tratta del quadrato della velocità di propagazione della vibrazione/deformazione.
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Vibrazioni e deformazioni

sabato, Ottobre 30th, 2021

vibrazioni,corda, equazione di eulero — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Si consideri una corda metallica tesa tra due punti A e B avente sezione costante A, densità ? (kg /m³) momento d'inerzia J della sezione nullo, quindi una corda infinitamente flessibile. Si assume che la forza F sia costante lungo la corda e che rimanga invariata durante la vibrazione. Trovare l'equazione che mette in relazione la frequenza fondamentale di vibrazione della corda e le caratteristiche fisiche e geometriche di questa.

Soluzione

Dalla fig. 1 vediamo che per una lunghezza ds della corda si ha ds=rdφ. Sempre per una lunghezza ds possiamo scrivere ds~dx. La risultante delle due forze applicate alle estremità dell'arco ds è una forza perpendicolare alla corda dx e rivolta verso la parte interna dell'arco, sì da formare una forza di richiamo.
Dunque sulla corda grava una forza di richiamo Fdx=Fds=Frdφ cioè