Teorema di Simson

domenica, Ottobre 24th, 2021

Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Dimostrare che i piedi delle perpendicolari tracciate da un punto qualunque P di una circonferenza ai lati o prolungamenti, di un triangolo inscritto alla circonferenza sono allineati.

Soluzione

Da un punto P della circonferenza che inscrive il triangolo ABC, si traccino le perpendicolari PX,PY,PZ rispettivamente ai lati BC,AC,AB. Poichè l'angolo PYA è supplementare all'angolo PZA, il quadrilatero PZAY è ciclico. Si veda la fig. 1.
Tracciare i segmenti PA, PB, PC. Con ovvio significato dei simboli:

Analogamente, poiché l'angolo PYC è supplmentare all'angolo PXC, il quadrilatero PXCY è ciclico, dunque:

Comunque il quadrilatero PACB è pure ciclico perchè presente nell'ipotesi del teorema - il triangolo inscritto nella circonferenza e P un punto della stessa - e dunque:

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Triangolo con parte di un lato incognito

lunedì, Luglio 12th, 2021

triangolo,lato,teorema di pitagora — **Fig. 1**

Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Sia dato un generico triangolo ABC, all'interno del quale sia scelto ad arbitrio un punto P. Del triangolo si conoscono le dimensioni dei lati così come raffigurato (fig. 1). Si chiede di trovare la quota incognita x, non mediante le nozioni di Geometria Analitica, bensì attraverso l'uso del teorema di Pitagora, giungendo a scrivere un teorema per il particolare caso in esame.

Soluzione
La costruzione del triangolo è immediata, osservando che i piedi delle perpendicolari ai tre lati sono i punti di tangenza alle circonferenze aventi raggio 6 e centro B, raggio 8 e centro B, raggio 14 e centro C.
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