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[¯|¯] Esempio n. 1 di parte principale di un infinito

martedì, Febbraio 28th, 2017

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Fig. 1. La parte principale dell'infinito f(x)=1/x² è la funzione medesima.

Consideriamo la funzione

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Riesce
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onde f(x) è un infinito in x=0. Ricerchiamone l'ordine assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=1/|x|. Sfruttando la parità (+1) di f(x) e u(x) riferiamoci al limite destro:
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[¯|¯] Parte principale di un infinito

martedì, Febbraio 28th, 2017

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Siano dati gli infiniti (in x0) f(x) e g(x). Se f(x) è di ordine a rispetto a g(x):

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In tale ipotesi poniamo
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Riesce
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ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x0). Definiamo

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Quindi
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Se

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segue che r(x) è un infinito di ordine minore di α (rispetto a g(x)). Infatti:
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Tenendo conto della formula che definisce ε(x):
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da cui
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Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinito. Sussiste la definizione

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In particolare se g(x) è l'infinito di riferimento v(x), la formula di decomposizione diventa:

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