Controesempio all'invertibilità del Teorema di Lagrange

domenica, Novembre 22nd, 2020

teorema di lagrange,invertibilità,posizione di equilibrio stabile

Proponiamo un secondo controesempio che mostra la non invertibilità del Teorema di Lagrange in Meccanica analitica.

Più specificatamente, abbiamo una particella che si muove sull'asse x sede di un campo di forze posizionali (sufficientemente regolare, in tal modo il campo è necessariamente conservativo). L'energia potenziale è un'oscillazione sinusoidale (anzi, di sin(10/x)) inviluppata da un esponenziale periodico (e^-sin(x)^2) che per quanto visto in un esercizio precedente è di classe C^oo ma non è analitica. Ed è facile persuadersi che anche V(x) ha lo stesso comportamento. Inoltre per le infinite oscillazioni del grafico intorno a x=0, si ha che questo punto pur essendo uno zero di tutte le derivate, non è un punto di estremo relativo. Nonostante ciò, applicando la definizione di stabilità nel senso di Lyapunov, si scopre che il predetto punto è una posizione di equilibrio stabile per il sistema.
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Non invertibilità del Teorema di Lagrange

giovedì, Novembre 19th, 2020

teorema di lagrange,posizioni di equilibrio stabile,energia potenziale

In precedenza, abbiamo dimostrato il Teorema di Lagrange che rappresenta un importante criterio per la stabilità (secondo Lyapunov) di una posizione di equilibrio per un sistema conservativo. Osserviamo tuttavia, che si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria. Il controesempio che proponiamo mostra infatti, l'esistenza di funzioni V(x) (energia potenziale) di classe C^oo ma non analitiche, le quali ammettono punti di equilibrio stabile ma che non sono di minimo relativo per V(x).
La condizione espressa dal teorema di Lagrange diviene necessaria e sufficiente, se si aggiunge l'ipotesi di analiticità dell'energia potenziale.
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