[¯|¯] Tensori controvarianti di rango r (parte seconda)

venerdì, Marzo 6th, 2020

Nel numero precedente abbiamo definito le "componenti" di un tensore controvariante di rango r. È chiaro che tale locuzione ha senso solo se è stata assegnato innanzitutto uno spazio vettoriale di appartenenza, e poi una sua base. A tale scopo definiamo innanzitutto l'insieme delle applicazioni r-lineari introdotte nel numero precedente:

dove il doppio asterisco denota lo spazio biduale di E_n. Siccome esiste un isomorfismo naturale tra un qualunque spazio vettoriale e il suo biduale, possiamo identificare E_n^** con E_n, per cui scriviamo semplicemente:

avendo però l'accortezza di denotare una base di E_n con un simbolo del tipo

per ricordare che stiamo in realtà lavorando sullo spazio biduale. Più precisamente, se {e_i} è una base assegnata di E_n, si ha che la base duale ad essa associata è

mentre la base biduale associata alla base {e_i} ovvero la base duale associata a {θ^j}, è

che è ovviamente una base E_n, tuttavia in generale distinta dalla base di partenza {e_i}.
(altro…)

Posted in Algebra Lineare | No Comments »

[¯|¯] Tensori controvarianti di rango r

martedì, Marzo 3rd, 2020

Allo stesso modo, comunque prendiamo uno spazio vettoriale E_n su un campo K, possiamo definire un'applicazione r-lineare:

essendo E_n^* lo spazio duale di E_n. Precisamente:

dove gli argomenti dell'applicazione, cioè le ω_(i), sono 1-forme. La r-linearità è espressa dalla seguente condizione:

Definizione
La forma r-lineare (cfr. eq. scritta sopra) si dice tensore controvariante di rango r (relativo allo spazio vettoriale E_n)

(altro…)