[¯|¯] Tautocronia della cicloide

domenica, Marzo 1st, 2020

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Fig. 1


Esercizio
Una pallina di massa m è lasciata cadere lungo una cicloide "rovesciata":


dove a > 0 ha le dimensioni di una lunghezza, mentre ω > 0 ha le dimensioni dell'inverso di un tempo. Dimostrare che il tempo impiegato per raggiungere la base A(aπ,0) è indipendente dalla punto in cui la pallina è lasciata cadere.

Soluzione

La traiettoria della particella è rappresentata in fig. 1. Dalla conservazione dell'energia meccanica si ha:

dove v è il modulo della velocità vettoriale, mentre y0 è l'ordinata del punto della traiettoria in cui la pallina è lasciata cadere, a cui corrisponde un valore del parametro t, dato da:

Segue

Tenendo conto che l'elemento d'arco si scrive come

si ha che il tempo T impiegato dalla pallina per raggiungere il punto più basso è


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