Stati coerenti dell' oscillatore armonico

lunedì, Maggio 3rd, 2021

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Fig. 1


Per lo studio degli stati coerenti in Meccanica quantistica, consideriamo il caso particolare dell'oscillatore armonico unidimensionale. Qui o spazio di Hilbert associato al sistema è L²(R), mentre l'operatore hamiltoniano è dato da

essendo m la massa della particella e ω la frequenza angolare. Dall'andamento dell'energia potenziale si deduce che questo sistema presenta esclusivamente stati legati. Matematicamente significa che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto ed è contenuto in [0,+oo). Ovviamente è non degenere in quanto il sistema è unidimensionale. Lo spettro può essere risolto utilizzando il metodo operatoriale di Dirac. A tale scopo si definiscono i seguenti operatori non hermitiani:


che verificano la regola di commutazione

Definendo poi l'operatore hermitiano:

si ha

Ne segue che tali operatori hanno un sistema di autoket simultanei:

Dopo alcune manipolazioni si giunge a

per cui denomiamo tali enti rispettivamente operatore di distruzione ed operatore di creazione. Da tali relazioni segue che n è un intero naturale, per cui l'energia dello stato fondamentale è


L'azione dell'operatore di creazione ci permette di ricostuire gli autoket dell'energia:


È istruttivo conoscere le autofunzioni dell'energia:

A tale scopo occorre risolvere l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo, ottenendo

dove Hn(ξ) sono i polinomi di Hermite. Ad esempio:


Seguendo un tipico approccio sperimentale, si prepara inizialmente il sistema in una sovrapposizione finita di autostati dell'energia:

Solitamente si assegnano i coefficienti della combinazione lineare (cioè le amipiezze di probabilità). Ne segue che l'evoluto temporale dello stato iniziale è

Senza perdita di generalità supponiamo che sia nmax=3 e che i coefficienti siano reali. Ad esempio:

e tale stato risulta banalmente normalizzato. Quindi la funzione d'onda iniziale è


Ed è graficata in fig. 2.

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Fig. 2. Profilo iniziale della funzione d'onda di un oscillatore armonico. Le unità di misura sono adimensionali.


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