Esercizio svolto sui campi centrali

mercoledì, Aprile 14th, 2021

campo centrale, esercizio svolto, meccanica razionale, spiegel

Risolviamo quest'esercizio di meccanica razionale/meccanica analitica.
Una particella di massa m si muove in un campo di forza dato da


Se essa parte sul semiasse positivo x a distanza D dall'origine e si muove con velocità v0 in una direzione che forma un angolo α con il predetto semiasse, si dimostri che l'equazione differenziale per la coordinata radiale r, è

Soluzione
L'energia potenziale del campo assegnato è


per cui il potenziale efficace è

e quindi l'equazione differenziale del moto

Le condizioni iniziali date dall'esercizio ci permettono di esplicitare la componente z del momento angolare. Infatti, orientando la solita terna inerziale con il piano xy coincidente con il piano orbitale, si ha innanzitutto:

Il momento angolare è


da cui il risultato.
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