» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una funzione

giovedì, Febbraio 21st, 2019

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Per quanto stabilito nei numeri precedenti, una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato), si dice integrabile se è possibile determinare univocamente l'ente denominato integrale generalizzato

che sia in grado di inglobare la definizione di integrale definito. Si noti che

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[¯|¯] Sommabilità di e^-(x)*sin(x)

domenica, Febbraio 17th, 2019

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Esercizio
Studiare l'integrabilità della funzione di fig. 1

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Soluzione

Osserviamo innanzitutto

Siccome

per il teorema dei carabinieri

Inoltre, sempre dalla doppia disuguaglianza appena vista, segue che il diagramma cartesiano della funzione

è contenuto nella regione del piano cartesiano

In parole semplici, la funzione oscilla sinusoidalmente tra le curve esponenziali e^(-x) ed -e^(-x), come illustrato in fig. 1. Inoltre, la funzione si annulla infinite volte e i suoi zeri sono:

per cui cambia infinite volte segno. Applicando questo procedimento, si ha:

Riesce

essendo R_{e^-x il rettangoloide generalizzato relativo a e^-x di base [0,+oo). Per una nota proprietà della misura segue

Da quest'esempio, si ha

Per la proprietà additiva della misura la precedente si riscrive

Ma

onde

da cui la sommabilità della funzione assegnata. A questo punto possiamo calcolare l'integrale con il solito procedimento di passaggio al limite:

che si calcola facilmente, ottenendo il risultato di fig. 1.

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