[¯|¯] Volume del toro

domenica, Luglio 2nd, 2017

Il formalismo delle matrici di rotazione è estremamente efficace nello studio dei solidi di rotazione. Assegnato il dominio D nel piano coordinato xz, scriviamo una rappresentazione parametrica della sua frontiera:

ove f e g sono funzioni continue assegnate del parametro reale θ. Segue che il generico punto della frontiera di D è rappresentato dal vettore colonna:
Volume del toro,solido di rotazione,teorema di guldino

mentre la matrice di rotazione attorno all'asse z si scrive:
Volume del toro,solido di rotazione,teorema di guldino

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[¯|¯] Solido di un volume di rotazione. Teorema di Guldino

domenica, Luglio 2nd, 2017

volume,solido di rotazione,teorema di guldino — **Fig. 1**

Consideriamo un dominio D limitato e misurabile contenuto nel semipiano xz. In particolare:

Sia T il solido generato dalla rotazione di D di un angolo 2π attorno all'asse z, come illustrato in fig. 1.
La rotazione attorno all'asse z suggerisce di passare alle coordinate cilindriche (r,φ,z). Per una rotazione di un angolo φ, il dominio si porta in D_φ, mentre il generico punto P(x,0,z) passa in P_φ(r,φ,z). Il solido T corrisponde - nello spazio r,φ,z - a un cilindro U di base D, altezza 2π e generatrici parallele al piano coordinato rφ:
volume,solido di rotazione,teorema di guldino

come possiamo vedere in figura:
volume,solido di rotazione,teorema di guldino

Tale dominio è normale rispetto al piano coordinato rz, per cui:

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