Serie di funzioni non uniformemente convergente, ma con somma continua

mercoledì, Novembre 10th, 2021

serie di funzioni non uniformemente convergente, ma con somma continua
Fig. 1

Il seguente esercizio mosta la sufficienza e non la necessità della uniforme convergenza di una serie affinché la somma sia un funzione continua, come stabilito dal teorema della continuità.
Poniamo


che sono manifestamente continue in (-oo,+oo). In fig.

il grafico di alcune di tali funzioni. La somma parziale di ordine 1 è banalmente

Allo scopo di ottenere un'espressione valida per ogni ordine N, decomponiamo il secondo membro in frazioni semplici:


che restituisce il sistema di equazioni lineari


che ammette l'unica soluzione

Con ovvio significato dei simboli


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