Serie di Fourier: la strana relazione tra il nucleo di Dirichet e la funzione delta di Dirac

martedì, Aprile 5th, 2016

Alle prese con l'articolo per emcelettronica.com. La convergenza di una serie di Fourier si "gioca" sul nucleo di Dirichlet e sembra che ci sia una qualche relazione con la delta di Dirac.

Supponiamo di avere una funzione periodica f(x) di periodo 2pi, quindi la serie di Fourier associata a f è:

serie di fourier,funzioni periodiche,nucleo di Dirichlet

con i coefficienti di Fourier dati da:

mentre la somma parziale di ordine n è:

e sostituendo in questa equazione l'espressione dei coefficienti, e facendo un sacco di noiosi passaggi si giunge a

In questa formula la funzione Dn che compare nell'integrando, è il famigerato nucleo di Dirichlet, la cui espressione è:

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Le condizioni di Dirichlet

domenica, Aprile 3rd, 2016

Sto preparando un articolo per Emcelettronica sul fenomeno di Gibbs, per cui ho "rispolverato" alcuni vecchi tomi, come ad esempio l'ottimo Teoria ed applicazioni della serie di Fourier. di Carlo Cercignani. In questo testo sono riportate le ben note condizioni di Dirichlet che sono sufficienti (ma non necessarie) per la convergenza della serie. Tra tali condizioni troviamo la richiesta che la funzione da sviluppare sia a variazione limitata, e cioè che sia 1) continua a tratti, 2) dotata al più di un numero finito di massimi/minimi. Ad esempio, la ben nota funzione f(x)=x*sin(1/x) per x=/0, e 0 per x=0, non è a variazione limitata pur essendo continua su tutto l'asse reale. Ciò perchè, la funzione oscillando infinite volte in ogni intorno di x=0, assume infiniti massimi e minimi.
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