» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Transitorio in un circuito RL

L'esercizio di elettrotecnica che oggi proponiamo (e risolviamo) riguarda il comportamento di una serie RL (resistenza - induttanza) in seguito alla chiusura di un interruttore. Applicando il secondo principio di Kirchoff si perviene a una equazione differenziale lineare del primo ordine, in cui la funzione incognita è l'intensità di corrente che attraversa la predetta serie. Il valore di regime verrà raggiunto asintoticamente, ma in pratica dopo un intervallo di tempo molto più grande della "costante di tempo" del circuito.
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Un esempio di applicazione della salita esponenziale: il transitorio circuitale di una serie RC

Nel post precedente abbiamo esaminato il comportamento asintotico della salita esponenziale. Tale funzione ha un'istruttiva applicazione nei transitori circuitali. Consideriamo in paricolare la seguente serie RC:

la resistenza R e il condensatore di capacità C, sono collegati in serie e alimentati da una d.d.p. costante pari a V. Se a t=0 chiudiamo il circuto, la carica elettrica sulle armature di C segue una salita esponenziale. Precisamente:

dove

è la costante di tempo della serie RC, ed ha le dimensioni di un tempo. È facile convincersi che tale grandezza fissa la scala dei tempi di carica del condensatore. Maggiore è tale costante, più lungo sarà il processo di carica, e viceversa. L'altra costante, invece, è:

Il grafico della q(t) è:

Supponendo di poter realizzare una condizione ideale in cui la resistenza R è nulla (si pensi ad un condensatore ideale, privo cioè di resistenza ohmica), si ha che la costante di tempo si annulla e, conseguentemente, il processo di carica è istantaneo o, ciò che è lo stesso la funzione q(t) segue un gradino unitario (unit step). Per valori non nulli della costante di tempo, scriviamo allora la funzione q(t) come:

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