Questa famiglia non ha inviluppo

domenica, Dicembre 27th, 2020

famiglia di curve piane,inviluppo,punto base,studio di funzione — **Fig. 1**

Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane:

Soluzione
Osserviamo innanzitutto che la generica curva γ_λ della famiglia assegnata è il grafico della funzione

data dal prodotto della funzione potenza di esponente reale per la funzione esponenziale e^{-x}. Dobbiamo considerare l'intervallo [0,+oo).
Intersezione con gli assi
Dal momento che l'esponente è maggiore di zero, si ha:

Cioè, il grafico passa per l'origine. Più precisamente, "parte" dall'origine.
Segno
Dal momento che la funzione è definita per x > = 0 ed è ivi non negativa, il grafico è contenuto nel primo quadrante.
Comportamento all'infinito
La funzione è manifestamente infinitesima:

Quindi l'asse x è asintoto orizzontale (a destra).
Derivata prima
Calcolando si trova

Riesce

cosicché la funzione è strettamente crescente in (0,λ) e strettamente decrescente in (λ,+oo). Ne segue che x=λ è punto di massimo relativo, anzi assoluto.

Stabiliamo il comportamento della derivata prima in un intorno destro di x=0. A tale scopo calcoliamo:

Ne segue

Cioè il grafico può "partire" da (0,0) con: 1) tangente verticale; 2) tangente orizzontale ; 3) tangente con coefficiente angolare 1, come illustrato in fig.

Derivata seconda
Abbiamo:

Bisogna però tener conto del fatto che la funzione non è definita per x < 0. Infatti, per 0 < &lmbda; < 1 è x1 < 0, per cui deve essere verificata solo x > x2. Vediamo che x2 è un flesso discendente e che il grafico è convesso in (0,x2) e concavo in (x2,+oo), come vediamo in fig.

Studiamo le intersezioni delle curve per differenti valori del parametro.

Cioè le curve della famiglia si interesecano nell'origine e in P0(1,(1/e)). Sono questi i punti base della famiglia. Ciò può essere visto applicando il procedimento standard:

Dobbiamo risolvere il sistema:

La prima implica x=0, mentre la seconda y=e^-1, cioè i punti base. Ne concludiamo che la famiglia assegnata non ammette curva inviluppo. In fig. 1 l'andamento di alcune curve della famiglia, in cui sono visibili i punti base.

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Punto base e inviluppo (Base point and envelope)

sabato, Dicembre 26th, 2020

inviluppo,punto base,famiglia di curve piane — **Fig. 1**

Esercizio

Soluzione
Denotiamo con γ_λ la singola circonferenza. Ricordiamo dalla Geometria analitica che la generica equazione di una circonferenza di centro (ξ,η) e raggio R, è:

dove

Ne segue che nel nostro caso è

Ora poniamo

da cui il sistema

Se nella seconda poniamo x=1 si ha y=0, cioè la soluzione (1,0), e questa verifica anche la prima equazione. Abbiamo perciò trovato il punto base (1,0). Scartando tale soluzione (cioè x diverso da 1) proviamo con x=-1, per cui la seconda restituisce y=2λ. Ponendo nella prima x=-1,y=2λ si perviene a una identità, i.e. abbiamo trovato la soluzione

che è manifestamente una rappresentazione parametrica della retta x+1. Ne concludiamo che quest'ultima è l'inviluppo della famiglia assegnata, come mostrato in fig. 1.

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