[¯|¯] Punti di discontinuità di una funzione dipendente da un parametro

martedì, Gennaio 10th, 2017

funzione,parametro,discontinuità eliminabile,punti di discontinuità — **Fig. 1**

Determinare i valori del parametro reale positivo α in corrispondenza dei quali, la funzione di fig. 1 ha in x=1 una discontinuità eliminabile.

Soluzione
Caso 1: 0<=α<7, cosicché

funzione,parametro,discontinuità eliminabile

Dal momento che

si ha

Il limite destro

da cui vediamo che per 0<=α<7 il punto di accumulazione x=1 è di discontinuità di seconda specie. In fig. 2 riportiamo l'andamento del grafico della funzione per &alpha=6.9.

Caso 2: α=7
Qui è

onde

Ne concludiamo che per α=7 il punto x=1 è di discontinuità di prima specie, come illustrato in fig. 3.

Caso 3: 7<α<8 Abbiamo funzione,parametro,discontinuità eliminabile

Calcoliamo i limiti:

Cioè

per cui x=1 è un punto di discontinuità eliminabile. Precisamente, modificando la funzione come segue:

il cui grafico è riportato in fig. 4.

Caso 4: α=8
Risulta:
funzione,parametro,discontinuità eliminabile

per cui

Ciò implica che x=1 è un punto di discontinuità di prima specie, come illustrato in fig. 5.

Caso 5: α>8
In quest'ultimo caso abbiamo
funzione,parametro,discontinuità eliminabile

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Classificazione dei punti di discontinuità di una funzione

martedì, Marzo 29th, 2016

funzioni continue,punti di discontinuità, punti di singolarità

Questo esercizio chiede di classificare i punti di discontinuità di una funzione reale di una variabile reale. Come è noto, in questi casi occorre dapprima ricavare l'insieme di definizione, dopodichè si determina il comportamento della funzione in un intorno dei punti di accumulazione di tale insieme non appartenenti ad esso.
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