» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Il "limite del topologo" in due dimensioni

venerdì, Gennaio 8th, 2021

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Esercizio

Classificare i punti di discontinuità della funzione scritta in fig. 1.

Soluzione
La funzione è definita in

cioè su tutto il piano cartesiano, escludendo gli assi coordinati. Comunque prendiamo y₀ non nullo, risulta

e viceversa, preso ad arbitrio x₀, risulta

Ovviamente

Tali risultati costituiscono un'estensione ad R² del famoso limite del topologo
Conclusione: gli assi coordinati sono luoghi di discontinuità di seconda specie per la funzione assegnata.

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[¯|¯] Occhio alla non periodicità

sabato, Febbraio 18th, 2017

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Esercizio
Classificare i punti di discontinuità della funzione

Soluzione
Tale funzione non è periodica, giacché non lo è la base. È definita per

La disequazione non può essere risolta analiticamente, per cui si ricorre alla via numerica, calcolando dapprima la radice dell'equazione

ottenendo

Utilizzando Mathematica tracciamo il grafico di

ottenendo il plot di fig. 2.

da cui vediamo

Tale conclusione è corroborata dal grafico di fig 3.

Ne consegue che la funzione assegnata è definita in

Da ciò segue che in x=0 la funzione non è definita. Calcoliamo dunque

Per rimuovere l'indeterminazione applichiamo il procedimento standard forzando la base:

da cui

Dalla (6)

mentre il limite diventa

essendo

Il primo limite è immediato. Infatti basta porre

onde

mentre

Calcoliamo λ₂

Anziché applicare la regola di De L'Hospital, dividiamo numeratore e denominatore per x:

Calcoliamo

dove ci siamo serviti del limite noto

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