[¯|¯] Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi

martedì, Luglio 3rd, 2018

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano
Fig. 1


Esercizio
Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

rappresentato in fig. 1.

Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

data da
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

essendo π1 e π2 rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano









Per x=1
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Per x=2

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Per x=3
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso {4,5,6,7}:

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

così definita:

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano



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[¯|¯] Coppie ordinate, n-ple ordinate. Prodotto cartesiano

sabato, Giugno 16th, 2018

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano


Definizione
Dicesi coppia ordinata l'insieme costituito da due elementi a e b (non necessariamente distinti) dati in quest'ordine. Una coppia ordinata si denota con (a,b).
Tale definizione implica
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Ad esempio
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

mentre

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Definizione
L'uguaglianza di due coppie ordinate (a,b) e (a',b') è definita dalla condizione
(a,b)=(a',b')<=> a=a',b=b'

Definizione
Dicesi n-pla ordinata l'insieme costituito da n elementi a1,a2,...,an (non necessariamente distinti) dati in quest'ordine. Una n-pla ordinataordinata si denota con (a1,a2,...,an).









In base a questa definizione si ha, ad esempio:

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Definizione
L'uguaglianza di due n-ple ordinate
(a1,a2,...,an), b1,b2,...,bn

è definita dalla condizione:
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano


Definizione
Assegnati gli insiemi A e B, dicesi prodotto cartesiano o prodotto combinatorio di A per B, l'insieme

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Proposizione
Il prodotto cartesiano di A per B non verifica la proprietà commutativa. Cioè

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

avendosi
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Dimostrazione
L'asserto discende dalla definizione di coppia ordinata:

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano si generalizza a n>=2 insiemi A1,A2,...,An:

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

In particolare, se A1=A2=...=An

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

avendosi
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Cioè An è l'insieme delle n-ple ordinate di elementi di A. Si pone per definizione:

coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano



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